自然界中的过程通常可以用方程式来描述。在许多不平凡的情况下，不可能找到这些方程的精确解。然而，一些方程由于它们的极端对称性而更容易处理。一类重要的此类方程由可积系统给出。众所周知，可积系统是理论物理和数学中的通用工具。事实证明，它们在统计力学、规范理论、量子引力和非线性波等不同领域非常有用，在现代几何学中尤为重要。

出于某种神秘的原因，可积性通常与可解性密切相关。也就是说，当一个几何问题可以与一个可积系统相关时，它迟早总是可以完全解决的。有几种类型的可积系统，并且构建了不同的强大方法来解决它们。此外，识别不同可积系统之间的关系使我们能够应用各种方法来解决这些问题。

在可积系统的不同家族中，孤子型可积层次具有特别多的应用。可以说，最重要的例子是 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 层次结构，它由一个无限的偏微分方程塔来描述。其中第一个是 1970 年由两位物理学家 Kadomtsev 和 Petviashvili 介绍的，用于描述等离子体中的声波。KP 方程是作为 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的变形引入的，该方程描述了浅水表面上的波浪。更一般地说，整个 KdV 层次结构描述了 KP 层次结构的缩减。

可积层次理论是由京都大学的伊达、神保、柏原、美羽和佐藤在 1980 年代积极发展的。他们发现了可积层次、无限维李代数的表示论和自由场形式主义之间的基本关系。特别是，他们用 tau 函数描述了层次结构的解决方案，tau 函数是无限多变量的形式函数。

至于 KdV 层次的解决方案，由 Edward Witten 和 Maxim Kontsevich 构建了 Kontsevich-Witten tau 函数。它对二维拓扑引力的描述在现代数学物理学中占有特殊的地位。KdV 可积层次的另一个 tau 函数是 Brezin-Gross-Witten 模型，该模型已在 40 年前被引入格子规范理论。这两个 tau 函数具有自然的枚举几何解释;它们是可积孤子层次结构中研究最充分的 tau 函数之一。

最近出现的一些迹象表明，KdV 也可能与与正交对称群相关的 B 型 KP 层次 (BKP) 具有自然关系。事实上，在 Mironov 和 Morozov 最近的一篇论文中，注意到 Kontsevich-Witten tau 函数在 Schur Q 函数方面具有简单的扩展，已知这些函数与 BKP 层次结构密切相关。这个结果被 Alexander Alexandrov 推广到与 Brezin-Gross-Witten 模型相关的一系列 KdV tau 函数。基于这些展开，Alexander Alexandrov 推测(对于 Kontsevich-Witten tau 函数)并证明(对于 Brezin-Gross-Witten tau 函数)这些 KdV tau 函数也解决了 BKP 层次结构。

这些结果引出了一个问题：KdV 和 BKP 层次结构之间最普遍的关系是什么?基础科学研究所(IBS)几何与物理中心的亚历山大·亚历山德罗夫最近给出了这个问题的答案。也就是说，他证明了 KdV 的任何 tau 函数都可以解决 BKP 层次结构。

有几种不同的方法可以关联 KdV 和 BKP 层次结构。特别是在 80 年代，Jimbo、Kashiwara 和 Miwa (DJKM) 已经描述了用 BKP 的 4-reduction 来识别 KdV 层次结构。亚历山大·亚历山德罗夫获得的一个新结果比任何以前已知的关系都简单和优雅，并在两个孤子类型的基本可积层次之间提供了一种新的、基本的联系。由于 DJKM 以前的理论曾经是数学物理的经典部分，被认为是完整的，亚历山德罗夫的这一理论的新发展出乎数学界的意料。

这一结果使 Schur Q 函数成为 KdV tau 函数扩展的自然基础。这种扩展可以帮助找到 KdV tau 函数的新属性。例如，Kontsevich-Witten 和 Brezin-Gross-Witten tau 函数的 Schur Q 函数展开具有特殊形式：它们描述了所谓的超几何 BKP tau 函数。这类 tau 函数由 Orlov 引入，已知与枚举几何不变量的一个有趣类有关，即自旋 Hurwitz 数。因此，将 KdV tau 函数与 BKP 层次解的识别导致在两个不同类别的枚举几何不变量、模空间上的交点数和自旋 Hurwitz 数之间进行新的、出乎意料的识别。

Alexander Alexandrov 预计，用 BKP 层次的解来识别 KdV tau 函数将导致我们在枚举几何和数学物理方面取得许多新成果。